MATHÉMATIQUES POUR INFORMATICIENS

Ce cours est une continuation d’Analyse I (automne) et d’Algèbre I (automne). Il traite des sujets plus avancés de mathématiques, qui sont importants pour les étudiant-es en informatique, et il donne les bases théoriques pour les sujets traités au cours "Analyse numérique" en deuxième année.

1. Topologie de l'espace euclidienne et fonctions continues. Distances, normes, convergence, ensembles ouverts et fermés, fonctions à plusieurs variables, continuité, courbe de Peano-Hilbert.
2. Calcul matriciel. Rappel de l'algèbre linéaire, forme normale de Schur, matrices orthogonales, formes quadratiques, classification des hyper-quadriques matrices définies positives, norme d'une matrice, applications bilinéaires et multilinéaires, décomposition en valeurs singulières.
3. Calcul différentiel (plusieurs variables). Dérivées partielles, différentiabilité, dérivées d'ordre supérieur, série de Taylor, théorème des accroissements finis, théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. surfaces et sous-variétés, espace tangent.
4. Optimisation. Maxima relatifs, paramètres de Lagrange, programmation linéaire, algorithme du simplexe.
5. Calcul intégral. Primitives, applications du calcul intégral, techniques d'intégration et substitutions importantes.
6. Équations différentielles ordinaires. Quelques types d'équations intégrables, équations différentielles linéaires, itération de Picard-Lindelöf, existence et unicité de solutions de systèmes d'équations non linéaires.
7. Séries de Fourier. Exemples et étude élémentaire de convergence, noyau de Dirichlet, convergence ponctuelle et en moyenne quadratique.